Вариант № 10.

№10 В задаче даны вершины треугольника ABC. А(19; 3),  В(–5; –4),  С(–9; –1).

Найти:

1) длину стороны ВС;

2) уравнение высоты из вершины А и ее длину;

3) уравнение медианы из вершины А;

4) записать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС;

5) построить чертеж.

Решение: 1.Длину стороны ВС найдем как расстояние между двумя точками:

2. Чтобы составить уравнение высоты AN, запишем уравнение BC:

Т.к. прямая AN BC,  то:

Зная КAN, запишем уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. Уравнение ВС:

Уравнение AN:      

Чтобы определить длину AN, найдем координаты точки N, решив совместно уравнения AN и BC.

Тогда длина AN:

3. Координаты точки М, которая делит сторону BC пополам:

Уравнение медианы:

4. Т.к. Р║ВС, то Кр = КВС = –3/4; Тогда уравнение прямой Р запишем:

№ 30. Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А,В,С для каждого из трёх видов услуг: I – техническое обслуживание,   II – транспортные услуги,  III – капитальный ремонт, заданы векторами d1(a1,b1,c1), d2(a2,b2,c2), d3(a3,b3,c3). Полные затраты на выполнение каждого из трёх видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3).Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги. Составить математическую модель задачи, решить  задачу а) матричным методом, б) методом Крамера.

Дано: d1(5, 2, 1);   d2(7, 5, 1);   d3(1, 1, 4);   Q(160, 240, 95). 

Решение:  Обозначив расчётные объёмы работ (в часах) каждого вида оборудования х1, х2, х3 и составив систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, получим математическую модель задачи:

Решение этой системы уравнений относительно неизвестных Х1, Х2, Х3 определит объёмы работ оборудования.

Решение матричным методом.

Полученную систему уравнений можно представить в виде матричного уравнения: А ´ Х = В, где: А – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица расценок).   Х – матрица-столбец неизвестных (объемов работ), В – матрица-столбец свободных членов (полных затрат).   Тогда:  Х = А–1 ´ В.

Для определения матрицы А–1, обратной к матрице А, найдём её определитель:

Т. к. определитель системы  А = 43 0, то матрица   А–1 существует. Для поиска обратной матрицы найдём все алгебраические дополнения матрицы А  

Умножая обратную матрицу А–1 на матрицу-столбец В получим матрицу-столбец Х:

Следовательно объёмы работ в часах: х1 = 25 ч; х2 = 10 ч; х3 = 15 ч;

Решение методом формул Крамера. Находим частные определители:

Тогда значения неизвестных по формулам Крамера составят:

Решение обоими методами совпадает. Т.о. часы работы оборудования, при которых затраты на выполнение услуг полностью окупятся, составили: х1 = 25ч;  Х2 = 10ч; х3 = 15ч.

№50. Построить линии:

Выделим полный квадрат по х:

Получили уравнение параболы с вершиной в точке (2; –3). Её ветви направлены вверх.

Выделим полный квадрат по Х и по У:

Это каноническое уравнение эллипса с центром в точке (3; -1) и полуосями

в)   

Выделим полный квадрат по х и y:  

Получили уравнение гиперболы с центром в точке: (2; -3), действительной осью, параллельной оси ОХ. Характеристический прямоугольник гиперболы имеет размеры: 2а = 6; 2b = 8.

Диагонали этого прямоугольника – асимптоты гиперболы.

Парабола, эллипс и гипербола построены на рисунке.

№70. Зависимость уровня потребления у (усл.ед) некоторого вида товаров от уровня дохода семьи х выражается формулой .

Построить график этой зависимости, произвести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = x0 = 100.

Решение: Преобразуя выражение к виду:

и введя новые переменные Х = х + 50; Y = y – 220, получим формулу гиперболы в координатных осях ХО'Y, точка O' которой в прежней системе имеет координаты (–50; 220).

Т.к. экономический смысл имеет лишь часть гиперболы при х > 0 и y > 0, то построим лишь одну её ветвь, для которой потребление изменяется от 217,8 единиц при нулевом доходе до 220 единиц при неограниченном росте дохода.

При х = 100 ед. потребление составит:

Контрольная работа №2.

№10. Найти пределы:

 = ;

Разложим знаменатели выражения на множители:

Приведём разность под знаком предела к общему знаменателю и выполним преобразования:

;

Разделим каждый член выражения на х. Получим:

№30. Найти производные  данных функций в п. (а,б), в п.(в) найти полный дифференциал функции Z = f(x,y).

Находим частные производные:

Тогда полный дифференциал функции df(x;y) запишется:

№50. Исследовать функцию и построить график.          

Решение: Преобразуем выражение, открыв скобки:

1. Область определения  ; т.е.

2. Функция всюду непрерывна, не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.

3. Функция пересекает ось ординат в точке (0; – 5), а ось абсцисс в точках:

(–1; 0);  (5; 0).

Очевидно в интервале  функция отрицательна, аза его пределами функция положительна.

4. Функция не является чётной или нечётной .

5. Функция имеет экстремум в точках, где обращается в нуль её первая производная:

Получили две критические точки. Других критических точек нет т.к. производная существует всюду.

Исследуем эти точки по знаку производной слева и справа.

При х < –1  > 0, т.е. функция  в этом интервале возрастает

В интервале  –1 < х < 3,  < 0, т.е. функция в этом интервале убывает.

При х > 3,  > 0  т.е. здесь функция возрастает.

Следовательно, в точке х = –1 функция имеет максимум, а в точке х = 3 функция имеет минимум.

6. Функция может иметь перегиб в точках где обращается в нуль или не существует её вторая производная :

  = 0  при  6х = 6 т.е. х = 1;  При х < 1  < 0  т.е. функция выпукла вверх, при х > 1,  > 0  т.е. функция выпукла вниз. Следовательно, точка х = 1 есть точка перегиба.

6. Невертикальные асимптоты существуют, если существует предел:

;  При  ; 

Т. о. асимптот функция не имеет.

Значение функции в критических точках и дополнительно, для уточнения графика:

Х

–2

–1

0

1

3

5

Y

–7

0

–5

–16

–32

0

  График функции по этим точкам построен на чертеже.

№70. Спрос на товар Д в зависимости от дохода потребителей (х) определяется функцией Д(х). Рассчитать эластичность функции спроса относительно дохода и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

Дано: ,  х = 2 (ден. ед.)

Решение: Эластичность функции относительно аргумента определяется формулой:

, где - производная функции.

В данном случае:

При х = 2 имеем:

Т. к. ЕД(х) при х = 2 меньше 1, то спрос на товар неэластичен по доходу потребителей. Значение  ЕД(х)  = 0,714 означает, что при изменении дохода от его значения х = 2 на 1% спрос на этот товар изменится в том же направлении на 0,714%.

№90. Найти неопределённые интегралы. Определённый интеграл вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

в)

г)

№110. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 + 4х – 2; у = 2х – 2.

Решение: Выделим полный квадрат из уравнения параболы у = х2 – 6х + 7.

Получим:

у = х2 – 6х + 7 + 2 – 2 = х2 – 6х + 9 – 2 = (х – 3)2 – 2;            у + 2 = (х – 3)2;

Т.о. вершина заданной параболы лежит в точке (3; –2), ветви параболы направлены вверх.

 Решив совместно уравнения параболы и прямой, найдём их точки пересечения:

х + 1 = х2 – 6х + 7;   х2 – 6х + 7 – х – 1 = х2 – 7х + 6 = 0;

Искомая площадь определится интегралом: