Вариант №  9

Задание № 1. 2

Задание № 2. 6

Задание № 3. 8

Задание № 5. 9

Библиографический список. 12

Задание №1

Анализ межотраслевых связей.

Дан следующий отчётный межотраслевой баланс (МОБ):

Задания для выполнения работы:

1. Построить таблицу отчетного МОБ, проверить основное балансовое соотношение.

2. Составить плановый МОБ при условии увеличения спроса на конечный продукт по отраслям соответственно на 10,9,7,8, и 7 процентов.

3. Рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих ресурсах.

4. Проследить эффект матричного мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по третьей отрасли  на 5 %.

5. Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10 % (считать доли зарплаты в добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,35, 0,43, 0,6). Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты в первой отрасли на 5 %.

Решение: 1. Заполним таблицу отчётного МОБ:

Столбец "Итого" – промежуточный продукт отраслей – в сумме с конечной продукцией даёт валовой продукт, а строка "Итого" – стоимость материальных затрат – будучи вычтена из валовой продукции даёт добавленную стоимость отраслей.

Основное балансовое соотношение – общая по всем отраслям добавленная стоимость (2493,72) равна общему для всех отраслей конечному продукту (2493,72) –  выполняется.

2. Для составления таблицы планового МОБ рассчитаем матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат по формуле:

2. Для составления таблицы планового МОБ рассчитаем матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат по формуле:

т.е. все элементы каждого столбца матрицы межотраслевых потоков делятся на валовой выпуск соответствующей потребляющей отрасли (1 – ый столбец делится на

 первое значение, 2 – ой столбец делится на второе значение и т.д.).

Элементы матрицы планового МОБ рассчитаем по формуле:

где Е – единичная матрица; (Е – А)^–1 – матрица, обратная к матрице (Е – А). Запишем матрицу (Е – А), а матрица  В = (Е – А)^–1, данная в методичкеl, имеет вид:

Значения Y^пл найдём, увеличив на 10, 9, 7, 8 и 7 % значения конечного продукта отчётного МОБ.

Получим:

Y^пл = (316,25; 303,55; 620,84; 189,12; 1254,47)^Т.

индекс Т – означает, что матрица-строка транспонирована.

Умножая матрицу В на матрицу-столбец Y^пл получим матрицу-столбец Х^пл (плановый валовой продукт):

Значения  Х^пл  вписаны в таблицу планового МОБ:

Значения межотраслевых потоков планового МОБ получены по формуле: Х_ij = a_ij×X_j,  где:

a_ij – элементы матрицы А; X_j – соответствующие значения валового продукта планового МОБ.

Основное балансовое соотношение – общая по всем отраслям добавленная стоимость (2684,23) равна общему для всех отраслей конечному продукту (2684,23) –  выполняется.

3. Коэффициенты прямой трудоёмкости и фондоёмкости по отчётному году составляли:

t_j = L_j/ = 0,1694;  0,0528;  0,0812;  0,0983;  0,0339;

f_j = Ф_j/ = 0,0735;  0,1422;  0,1471;  0,2040;  0,0438;

где  – валовая продукция отчётного МОБ

Тогда плановая потребность в труде и фондах при этих же коэффициентах и плановых значениях валовой продукции составят:

L_j = t_j×X_j = 83,133;  38,980;  73,940;   43,084;   62,144;    

Ф_j = f_j×X_j = 36,097; 105,029;  133,949;  89,400;  80,359; 

4. Увеличив спрос на конечный продукт на 5 % по отрасли № 3, получим матрицу – столбец прироста спроса по отраслям:

ΔY = (0;  0;  31,04;  0;  0)^T;

Тогда прирост валовой продукции определится:

ΔХ = В×ΔY = (1,394; 6,665;  35,124;  2,763; 6,081)^Т;

Т.о. изменение спроса на конечную продукцию только по третьей отрасли вызвало изменение спроса на валовую продукцию по всем отраслям. В процентном соотношении эти изменения составят: (0,28;  0,90;  3,86;  0,63;  0,33) %, т.е. по третьей отрасли изменения наибольшие.

5. Равновесные цены наёдём из соотношения Р = В^Т×V, а доли добавленной стоимости V найдём, разделив добавленную стоимость  по отраслям на валовой выпуск:

V_j = (0,868; 0,312; 0,635; 0,485; 0,675).

Выделив отсюда заработную плату по долям из условия и прибавив 10 % заработной платы к найденным долям V_j, получим:

– доли заработной платы в валовой продукции: (0,286;  0,156;  0,222;  0,208;  0,405).

– доли добавленной стоимости в валовой продукции: V = (0,897; 0,327; 0,657; 0,505; 0,715).

Транспонируя матрицу В и умножая В^Т на матрицу – столбец V, получим матрицу – столбец равновесных цен:

Т.о. при росте заработной платы на 10 % по всем отраслям цены на продукцию выросли в пределах от 3,4 % до 5,7 %, причём в наибольшей степени цены выросли в пятой отрасли, где доля заработной платы в добавленной стоимости самая высокая.

При дополнительном увеличении заработной платы в первой отрасли на 5 % изменение равновесных цен определим по формуле:

ΔР = В^Т×ΔV, где ΔV определим из условия задачи:    ΔV = (0,0143;  0;  0;  0;  0,)^Т; Тогда:

ΔР = (0,0151;  0,004;  0,00064;  0,00039;  0,00045)^Т.

Из расчёта следует, что при 5 %-ном росте зарплаты в первой отрасли цены на её продукцию вырастут на 1,51 %, а в остальных отраслях этот прирост составил от 0,039 % до 0,4 %.

Эффект мультипликатора  в п.4 и в п.5 проявился в том, что изменение спроса на конечную продукцию в одной отрасли привело к изменению валового спроса по всем отраслям, а изменение заработной платы в одной отрасли привело к изменению цен во всех отраслях.

Задание №2

Определение оптимального  плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок. 

Составить модель задачи и на примере ее решения проиллюстрировать свойства двойственных оценок. Рассмотреть задачу по определению оптимального плана выпуска продукции, максимизирующего выручку при известных нормах расхода ресурсов, объемах ресурсов и ценах реализации продукции.

Дано: матрица расхода ресурсов (А), объём ресурсов (В), цены реализации (С):

Модель задачи формулируется следующим образом: Найти х₁; х₂; х₃; х₄ (объёмы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

Х_j0;   (j = ), при которых целевая функция:

, достигает максимума.

Для решения этой задачи симплекс – методом  она приводится  к каноническому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансовых переменных S₁; S₂; S₃; S₄:

Значения балансовых переменных показывают объёмы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане.

Отчёт о решении этой задачи представлен в таблице.

В последней строке этого отчёта под переменными Х₁; Х₂; Х₃; Х₄ указаны их значения в оптимальном решении, а также значение целевой функции в столбце RHS. В последнем столбце указаны двойственные оценки оптимального решения.

Для получения максимального дохода необходимо продукцию Х₁; Х₂; Х₃; Х₄ выпускать в объёмах: Х₁ = 0; Х₂ = 22,54; Х₃ = 35,59; Х₄ =12,034; При этом Z_max = 510,17

Двойственная задача: Найти значения переменных Y₁; Y₂; Y₃; Y₄, удовлетворяющих ограничениям:

 при которых целевая функция:

Решения двойственной задачи из отчёта таковы:

Y₁ = 2,1525;  Y₂ = 0,1186; Y₃= 0,0678;  Y₄ =0;

Из анализа двойственных оценок следует:

1. Т.к. каждая из них указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка) если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов, то наибольшее изменение выручки произойдёт, если изменить объём 1-ого ресурса. Изменение     4-ого ресурса в пределах остатка не приведёт к изменению целевой функции (у₄ = 0).

2. Y₁; Y₂;Y₃ положительны, т.е. эти ресурсы расходуются полностью.

Проверка по неравенствам исходной задачи:

(1)   4∙0 + 5∙22,5424 + 2∙35,5932 + 3∙12,0339 = 220 = В₁;

(2)   3∙0 + 2∙22,5424 +3∙35,5932 + 4∙12,0339 = 200 = В₂;

(3)  1∙0 + 0∙22,5424 + 5∙35,5932 +1∙12,0339 = 190 = В₃;

следовательно, эти ресурсы дефицитны. Поскольку у₄ = 0, то четвертый ресурс расходуется не полностью:

(4)  1∙0 + 6∙22,5424 + 0∙35,5932 + 2∙12,0339 = 159,32 < 200;

Остаток 4-ого ресурса S₄ = 200 – 159,32 = 40,68 единиц определяет значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

3. Рентабельными являются 2-ая, 3-ая, и 4-ая продукция т.к. Х₂; Х₃; Х₄ – положительны, а первая продукция нерентабельна т.к. она не производится (Х₁ = 0).

Проверка по неравенствам двойственной задачи:

(1)  4∙2,1525 + 3∙0,1186 + 1∙0,0678 + 1∙0 = 9,034 > С₁ = 9;

(2)  5∙2,1525 + 2∙0,1186 + 0∙0,0678 + 6∙0  = 11 = С₂;

(3)  2∙2,1525 + 3∙0,1186 + 5∙0,0678 + 0∙0 = 5 = С₃;

(4)  3∙2,1525 + 4∙0,1186 + 1∙0,0678 + 2∙0 = 7 = С₄;

Т.о. по 2-ому , 3-ому и 4-ому уравнениям получены равенства т.е. суммарная оценка ресурсов равна цене продукции, а в 1-ом уравнении (для 1-ой продукции) затраты превышают цену на    9,034 – 9 = 0,034 ед., что даёт такой убыток на единицу в случае её производства. 

Задание 3.

 Элементы теории игр. Найти решение игры заданной матрицей:

Решение: Минимальные значения а_ij в строках матрицы А₁ равны соответственно 1, 3. Максимальное значение из них равно 3. Следовательно,  – нижняя цена игры, которой соответствует матрица А.

Для определения верхней цены матрица найдём максимальные значения элементов в столбцах матрицы. По столбцам имеем (5, 8). Минимальное значение из них равно 5. Следовательно,  – верхняя цена игры, которой соответствует матрица А.

Таким образом, т. к. α ≠ β, то матрица А не имеет седловой точки.

Составим симметричные двойственные оценки:

Задачу 2 приведём к канонической форме и решим симплекс-методом:

Задание 5

 Моделирование производственных процессов.

Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа где Y – произведённый продукт; С – масштабный множитель; К – затраты капитала; L – затраты труда; α – коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0<α<1);

(1 – α) – эластичность выпуска по труду.

За период времени системой было произведено 190 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что α = 0,75.

1. Записать производственную функцию Кобба-Дугласа.

2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единицах капитала?

3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы 5.2; 5.3; 5.4.

4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы 5.5 и 5.6. Прокомментировать результаты расчётов.

5. Проверить вычислениями точность равенства 5.10.

Решение. 1. Подставим в формулу (5.1) исходные данные:

190 = С∙40^0,75∙20^0,25.

После вычислений получим:

190 = С∙15,905∙2,115 или С = 190/33,636 = 5,6487.

Окончательно имеем:

Y = 5,6487 K^0,75L^0,25.

2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные:

Y = 5,6487·50^0,75∙25^0,25 = 5,6487∙18,803∙2,236 = 237,5.

Таким образом, системой при новых данных будет произведено 237,5 единиц продукта.

3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (5.2), (5.3) и (5.4).

Из формулы (5.2) Ay_k = Y/K следует, что фондоотдача Ay_k = 190/40 = 4,75.

Из формулы (5.3) Ay_k = C (L/K)^1-.  следует:

Ay_k = 5,6487∙K^0,75L^0,25/К = 5,6487∙L^0,25/К^0,25 = 5,6487∙ (20/40)^0,25 = 4,75.

Из левого выражения (5.4) Ay_l = Y/L = C (K/L).следует, что:

Ay_L = Y/L = 190/20 = 9,5.

Правая часть этого выражения даёт: Ay_L = C∙(K/L)= 5,6487·(40/20)^0,75 = 9,5.

Таким образом, проверяемые равенства выполняются.

4. Предельный продукт капитала – это частная производная выпуска по капиталу:

Получили, что действительно, Мy_k =∙Ay_k  = 0,75∙4,75 = 3,5625.

Аналогично предельный продукт труда:

  или:

Мy_L = (1-) Ay_l = 0,25∙9,5 = 2,375.

Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.

Средний продукт капитала, равный 4,75 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 4,75 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 3,5625, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 3,5625 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.

5. Пусть левая часть выражения (5.10)

Y(K+K, L+L)  Y +  (Y/K)K + (1–) (Y/L)L.

– это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2.

Тогда K = 10, а L = 5. Подсчитаем правую часть выражения (5.10).

Y + (Y/K)K + (1-)∙(Y/L)L = 190 + 0,75∙(190/40)∙10 + 0,25∙(190/20)∙5 =

= 190 + 35,625 + 11,875 = 237,5.

Таким образом, равенство 5.10 выполняется точно.

Библиографический список

1. Бушин П. Я., Захарова В. Н. Математические методы и модели в экономике : учеб. пособие. – Хабаровск, 1998.
2.  Бушин П. Я. Статистические методы принятия решений : учеб. пособие. – Хабаровск, 2002.
3. Бушин П. Я. Математические модели в управлении : учеб. пособие. – Хабаровск, 1999.
4. Кузнецов Ю. А., Кузубов В. Н., Волощенко А. В. Математическое программирование. – М. : Высшая школа, 1980.
5. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений / пер. с англ.; под ред. И. И. Елисеевой. – М. : Аудит, ЮНИТИ, 1997.
6. Экономико-математическое моделирование : учебник для студентов вузов / под общ. ред. И. Н. Дрогобыцкого. – М. : Экзамен, 2004.
7. Пелих А. С. Экономико-математические методы и модели в управлении производством / А. С. Пелих, Л. Л. Терехов, Л. А. Терехова. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2005 (Высшее образование).
8. Бережная Е. В. Бережной В. Н. Математические методы и модели экономических систем : учеб. пособие. – М. : Финансы и статистика, 2003.
9. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерчесокй деятельности : учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2005.