Эконометрика вариант 4 - Математика - Естественно-научные - Каталог статей

Вариант № 4

Задание № 4. Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (Y – стоимость квартиры, тыс.у.е., Х – размер общей площади, м2). Данные приведены в таблице 1.1.

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

,тыс.у.е. 22,5 25,8 20,8 15,2 25,8 19,4 18,2 21,0 16,4 23,5 18,8 17,5

Х, м2 29,0 36,2 28,9 32,4 49,7 38,1 30,0 32,6 27,5 39,0 27,5 31,2

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессии

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F - статистики Фишера (при оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение прогн., если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

Решение. Выполним необходимые промежуточные расчеты в таблице 1.2 и 1.3.

Мес Y Y2 X X2 X·Y Y-Ycр Х-Хcр (Y- Ycр)2 (X-Xcр)2 Y1 Y-Y1 (Y- Y1)2 A%

1 22,5 506,25 29 841 652,5 2,092 -4,5083 4,375 20,325 18,856 3,644 13,279 16,196

2 25,8 665,64 36,2 1310,44 933,96 5,392 2,69167 29,070 7,245 21,335 4,465 19,935 17,305

3 20,8 432,64 28,9 835,21 601,12 0,392 -4,6083 0,153 21,237 18,821 1,979 3,915 9,512

4 15,2 231,04 32,4 1049,76 492,48 -5,208 -1,1083 27,127 1,228 20,027 -4,827 23,297 31,755

5 25,8 665,64 49,7 2470,09 1282,26 5,392 16,1917 29,070 262,170 25,984 -0,184 0,034 0,712

6 19,4 376,36 38,1 1451,61 739,14 -1,008 4,59167 1,017 21,083 21,989 -2,589 6,705 13,348

7 18,2 331,24 30 900 546 -2,208 -3,5083 4,877 12,308 19,200 -1,000 1,001 5,496

8 21 441 32,6 1062,76 684,6 0,592 -0,9083 0,350 0,825 20,096 0,904 0,818 4,307

9 16,4 268,96 27,5 756,25 451 -4,008 -6,0083 16,067 36,100 18,339 -1,939 3,761 1,826

10 23,5 552,25 39 1521 916,5 3,092 5,49167 9,558 30,158 22,299 1,201 1,442 5,109

11 18,8 353,44 27,5 756,25 517 -1,608 -6,0083 2,587 36,100 18,339 0,461 0,212 2,450

12 17,5 306,25 31,2 973,44 546 -2,908 -2,3083 8,458 5,328 19,613 -2,113 4,467 12,077

244,9 5130,71 402,1 13927,81 8362,56 454,107 78,886 130,093

знач 20,408 427,559 33,508 1160,651 696,880 10,841

Мес Y Y2 U2 UY Y-Ycр U-Ucр (Y- Ycр)2 (U- Ucр)2 Y1 Y-Y1 (Y- Y1)2 A%

1 22,5 506,25 5,385 29,0 121,166 2,092 -0,381 4,375 0,145 18,815 3,685 13,581 16,379

2 25,8 665,64 6,017 38,2 155,229 5,392 0,250 29,070 0,063 21,454 4,346 18,889 16,846

3 20,8 432,64 5,376 28,9 111,818 0,392 -0,391 0,153 0,153 18,776 2,024 4,097 9,731

4 15,2 231,04 5,692 32,4 86,520 -5,208 -0,074 27,127 0,006 20,097 -4,897 23,985 32,220

5 25,8 665,64 7,050 49,7 181,885 5,392 1,283 29,070 1,647 25,772 0,028 0,001 0,109

6 19,4 376,36 6,173 38,1 119,747 -1,008 0,406 1,017 0,165 22,105 -2,705 7,319 3,945

7 18,2 331,24 5,477 30,0 99,686 -2,208 -0,289 4,877 0,084 19,199 -0,999 0,999 5,492

8 21 441 5,710 32,6 119,902 0,592 -0,057 0,350 0,003 20,171 0,829 0,688 3,949

9 16,4 268,96 5,244 27,5 86,002 -4,008 -0,522 16,067 0,273 18,225 -1,825 3,330 11,128

10 23,5 552,25 6,245 39,0 146,757 3,092 0,479 9,558 0,229 22,408 1,092 1,192 4,646

11 18,8 353,44 5,244 27,5 98,588 -1,608 -0,522 2,587 0,273 18,225 0,575 0,331 3,059

12 17,5 306,25 5,586 31,2 97,750 -2,908 -0,181 8,458 0,033 19,653 -2,153 4,634 12,302

244,9 5130,71 69,198 402,1 1425,051 3,072 79,045 129,605

знач 20,408 427,559 5,766 33,508 118,754 10,817

Все расчеты в таблице 1.2 велись по формулам:

Тогда линейное уравнение регрессии примет вид:

Рассчитаем коэффициент корреляции:

Т.к. значение коэффициента корреляции значительно близко к единицы, то связь между признаком Y и фактором Х присутствует.

Коэффициент детерминации: ., т.е. 40,4% изменения стоимости квартиры связано с изменением размера общей площади.

Средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

Это означает, что каждый процент изменения размера общей площади сопровождается изменением стоимости квартиры на 0,565 %.

Вычислим значение F- критерия Фишера:

где m=1 - число параметров уравнения регрессии, n=12 - объем совокупности.

По таблице распределения Фишера находим Fтабл =5,06

Так как Fтабл < F, то гипотеза о статической незначимости параметра b уравнения регрессии отклоняется. Так как , то можно сказать, что лишь 40,4 % результата объясняется вариацией факторной переменной (т.е. связь факторной переменной с результатом оказалась заметной). Средняя ошибка аппроксимации не вышла за допустимые пределы (10-20%), что говорит о ненадежности выбранной модели регрессии.

Выберем в качестве модели уравнения регрессии . Для определения параметров этого уравнения, выполним аналогичные расчеты, заменив величину .

Все расчеты в таблице 1.3. велись по формулам:

Тогда линейное уравнение регрессии имеет вид или

Рассчитаем коэффициент корреляции:

Так как значение коэффициента корреляции такое же как и в первом случае, то связь между признаком Y и фактором U также заметна.

Вычислим значение F- критерия Фишера:

где m=1 - число параметров уравнения регрессии, n=12 - объем совокупности.

По таблице распределения Фишера находим Fтабл =5,06

Так как Fтабл < F, то гипотеза о статической незначимости параметра b уравнения регрессии отклоняется. Так как , то можно сказать, что лишь 40,4% результата объясняется вариацией факторной переменной (т.е. связь факторной переменной с результатом присутствует). Средняя ошибка аппроксимации не вышла за допустимые пределы (10 – 20 %), что говорит о надежности выбранной модели регрессии.

Поскольку обе модели надежны, но т.к. по всем параметрам показатели линейной модели чуть лучше, то дальнейшие расчеты сделаем для линейной модели регрессии.

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии , Выдвигаем гипотезу о статической незначимости параметров, т.е. . Табличное значение Стьюдента

Определим ошибки параметров.

Т.к , а , то параметр «а» незначим, а параметр «b» и значимы, следовательно, b и r не случайно отличаются от нуля.

Средняя ошибка прогноза:

Если прогнозное значение фактора Х увеличится на 5% от среднего, то оно составит

Доверительный интервал определится (для ; ):

Получили интервал, в котором с вероятностью окажется стоимость квартиры при увеличении ее площади на 5% по выбранному уравнению регрессии.

Прогноз очень широкий т.к. показатель корреляции существенно меньше 1, а требуемая доверительная вероятность велика.

Задание № 14.

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199х года. Данные приведены в таблице 2.1.

Известны чистый доход (у), оборот капитала (x1), использованный капитал (x2) в млрд. у.е.

х 1,50 5,50 2,40 3,00 4,20 2,70 1,60 2,40 3,30 1,80 2,40 1,60

х1 5,90 53,10 18,80 35,30 71,90 93,60 10,00 31,50 36,70 13,80 64,80 30,40

х2 5,90 27,10 11,20 16,40 32,50 25,40 6,40 12,50 14,30 6,50 22,70 15,80

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера .

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

Решение: 1.Уравнение множественной регрессии будем искать в виде:

Параметры , найдем, выполнив необходимые промежуточные расчеты в таблице 2.2.

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑ Среднее значение

y 1,50 5,50 2,40 3,00 4,20 2,70 1,60 2,40 3,30 1,80 2,40 1,60 32,40 2,70

x1 5,90 53,10 18,80 35,30 71,90 93,60 10,00 31,50 36,70 13,80 64,80 30,40 465,80 38,82

x2 5,90 27,10 11,20 16,40 32,50 25,40 6,40 12,50 14,30 6,50 22,70 15,80 196,70 16,39

yx1 8,85 292,10 45,12 105,9 301,98 252,7 16 75,6 121,1 24,84 155,52 48,64 1448,33 120,69

yx2 8,85 149,10 26,88 49,2 136,5 68,58 10,24 30 47,19 11,7 54,48 25,28 617,95 51,50

x1x2 34,81 1439 210,56 578,92 2336,8 2377 64 393,8 524,8 89,7 1470,96 480,32 10001,03 833,42

y2 2,25 30,25 5,76 9,00 17,64 7,29 2,56 5,76 10,89 3,24 5,76 2,56 102,96 8,58

x12 34,81 2819,61 353,44 1246,09 5169,61 8760,96 100,00 992,25 1346,89 190,44 4199,04 924,16 26137,30 2178,11

x22 34,81 734,41 125,44 268,96 1056,25 645,16 40,96 156,25 204,49 42,25 515,29 249,64 4073,91 339,49

ŷ 1,765 4,331 2,368 2,825 4,748 2,576 1,721 2,182 2,358 1,491 3,046 2,877 32,287 2,69

A% 17,6 21,2 1,342 5,83 13,05 4,61 7,54 9,083 28,54 17,194 26,929 79,825 232,82 19,40

Дисперсии и среднеквадратические отклонения величин:

Парные коэффициенты корреляции:

Стандартизированное уравнение регрессии имеет вид:

Т. о стандартизированное уравнение:

Параметры естественной формы уравнения запишутся:

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

По этому уравнению регрессии определены теоретические значения чистого дохода по заданным в таблице данных обороту капитала x1 и использованному капиталу x2. Полученные значения и относительные (в %) отклонения этих значений от фактического дохода y, вписаны в нижние строки таблицы.

2. Средние коэффициенты эластичности:

т. к. <1; >1, то чистый доход неэластичен относительно оборота капитала, но эластичен относительно использованного капитала. Изменение оборота капитала на 1% от средних значений вызовет изменение чистого дохода в среднем лишь на 0,503 %, а использованного капитала на 1,208 %.

Судя по - коэффициентам и коэффициентам эластичности изменение оборотного капитала значительно слабее влияет на изменение чистого дохода, чем изменение использованного капитала.

3.Для оценки значимости коэффициентов регрессии по t - критерию Стьюдента и F - критерию Фишера вычислим коэффициент множественной корреляции и детерминации:

Коэффициент множественной детерминации . Наблюдаемое значение F-критерия Фишера при n-K-1=12-2-1=9 степеней свободы числителя (К=2 т.к. в уравнении две независимых переменных) и К=2 степеней свободы знаменателя составят:

Частные F - статистики.

При уровне значимости по условию табличные значения F и t –критериев составляют:

Т.к. наблюдаемые значения t – критериев: , то коэффициент b1 незначим на этом уровне значимости, а коэффициент b2 значим.

Судя по критериям Фишера, включение в модель фактора x1 после фактора x2 нецелесообразно, а включение фактора x2 после x1 целесообразно, т.к. .Учитывая, что целесообразно оставить фактор x2 исключив фактор x1.

Тогда: и уравнение регрессии приобретает вид:

4. Средняя ошибка аппроксимации определена в расчетной таблице – последняя строка, как средняя относительная ошибка при сравнении фактического чистого дохода и чистого дохода, определенного по уравнениям множественной регрессии. Ее величина составила т.е. по этой величине качество модели неудовлетворительное.

5. Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

Т.к. , то переменные х1 и х2 неколлинеарны, т.е. взаимосвязаны и их совместное включение в уравнение регрессии нежелательно. Частные коэффициенты корреляции составят:

Их матрица . Расчет частных коэффициентов корреляции указывают, что при закреплении фактора х2 на постоянном уровне влияние фактора х1 на результативный показатель оказалось слабее, чем при вариации обоих факторов (0,519 <0,5395).

При закреплении фактора х1 влияние фактора х2 также оказалось слабее, чем при вариации обоих факторов (0,749 < 0,758). Одинаковое изменение влияния говорит о наличии корреляционной корреляционной связи между факторами х1 и х2.

Задание № 24.

1.Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицированное ли каждое уравнение модели.

2.Определить тип модели.

3.Определите метод оценки параметров модели.

4.Опишите последовательность действий при использовании этого метода.

Макроэкономическая модель:

где R – процентные ставки, Y – реальный ВВП, M – денежная масса, I – внутренние инвестиции, G – реальные государственные расходы.

Решение: 1. Модель имеет три эндогенные переменные (R; Y; I) и две экзогенных независимых переменных (М,G). Проверим необходимые условия идентификации:

Первое уравнение:

Д=1; Н=2; Д+1=1+1=2=Н=2 т. к. Д+1=Н, то уравнение идентифицируемо.

Второе уравнение:

Д=1; Н=3; Д+1=1+1=2<Н=3 т. к. Д+1=Н, то уравнение неидентифицируемое.

Третье уравнение является тождеством и в анализе на идентификацию не нуждается.

Проверим достаточное условие идентификации:

В первом уравнении отсутствуют переменные I, G. Строим матрицу:

Уравнение I G

2-е уравнение b23 b25

3-е уравнение -1 0

т. е. уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении отсутствует только переменная М. Очевидно, что ранг соответствующей матрицы меньше 2, следовательно второе уравнение неидентифицируемо.

В третьем уравнении отсутствуют переменные Y, M, G. Строим матрицу:

Уравнение Y M G

1-е уравнение b12 b24 0

2-е уравнение -1 0 b25

. Следовательно это уравнение идентифицируемо.

Т.о. поскольку одно из уравнений неидентифицируемо, то система уравнений в целом является неидентифицируемой.

Косвенный метод минимальных квадратов применим лишь для идентифицируемых моделей, а двухшаговый метод решает сверхидентифицируемые и неидентифицируемые модели.

Использование двухшагового МНК заключается в следующем:

-составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.

- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Задание №34. Имеются данные за 15 дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в таблице 4.1.

1.Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядков.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры.

3. Сделать выводы.

Решение. Коэффициенты автокорреляции уровней ряда 1-го и 2-го порядков определим по формулам:

где yt - текущее значение числа пациентов клиники за t-ый год;

yt-1 – число пациентов за предыдущий день;

yt-2 - число пациентов за день, предшествующий предыдущему.

День 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

yt 30 22 19 28 24 18 35 29 40 34 31 29 35 23 27

День 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∑

yt 30 22 19 28 24 18 35 29 40 34 31 29 35 23 27 424

yt-1 - 30 22 19 28 24 18 35 29 40 34 31 29 35 23 397

yt-2 - - 30 22 19 28 24 18 35 29 40 34 31 29 35 374

yt-y1ср - -6,143 -9,143 -0,143 -4,143 -10,143 6,857 0,857 11,857 5,857 2,857 0,857 6,857 -5143 -1,143

yt-1-y2ср - 1,643 -6,357 -9,357 -0,357 -4,357 -10,357 6,643 0,643 11,643 5,643 2,643 0,643 6,643 -5,357

yt-y3ср - - -9,615 -0,615 -4,615 -10,615 6,385 0,385 11,385 5,385 2,385 0,385 6,385 -5,615 -1,615

yt-2-y4ср - - 1,231 -6,769 -9,769 -0,769 -4,769 -10,769 6,231 0,231 11,231 5,231 2,231 0,231 6,231

(yt-y1ср)2 - 37,735 83,592 0,020 17,163 102,878 47,020 0,735 140,592 34,306 8,163 0,735 47,020 26,449 1,306 547,714

(yt-1-y2ср)2 - 2,699 40,413 87,556 0,128 18,985 107,270 44,128 0,413 135,556 31,842 6,985 0,413 44,128 28,699 549,214

(yt-y3ср)2 - - 92,456 0,379 21,302 112,686 40,763 0,148 129,609 28,994 5,686 0,148 40,763 31,533 2,609 507,077

(yt-2-y4ср)2 - - 1,515 45,822 95,438 0,592 22,746 115,976 38,822 0,053 126,130 27,361 4,976 0,053 38,822 507,077

· (yt-1- y2ср) - -10,092 58,122 1,337 1,480 44,194 -71,020 5,694 7,622 68,194 16,122 2,265 4,408 -34,163 6,122 100,286

· (yt-2- y4ср) - - -11,834 4,166 45,089 8,166 -30,450 -4,142 70,935 1,243 26,781 2,012 14,243 -1,296 -10,065 114,846

Тогда коэффициенты автокорреляции составят:

т.к. значения коэффициентов автокорреляции существенно меньше 1, то временной ряд не содержит линейной тенденции. Содержит ли этот ряд нелинейную тенденцию или вообще не аппроксимируется в элементарных функциях может быть выявлено при дополнительных исследованиях.

Библиографический список

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.

Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.

Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

	Суббота, 23.11.2024, 17:10 Приветствую Вас Гость Главная \| Регистрация \| Вход
	Мой сайт