Вариант 6.
Задание № 6.
Имеются данные о потребительских расходах на душу населения , средней заработной плате и социальных выплатах по 16 районам региона за январь месяц.
Район A B C D E F G H I J K L M N O P
Y,руб. 416 501 403 208 462 386 399 342 354 558 302 360 310 415 452 450
X,руб. 1288 1435 1210 1190 1640 1420 1250 870 740 910 1020 1050 1205 990 1042 1037
Задание:
1.Рассчтайте параметры уравнений регрессии
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F-статистики Фишера (при оцените надежность уравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение прогн, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для =0,01.
Решение: Выполним необходимые промежуточные расчеты в таблице.
Район A B C D E F G H I J K L M N O P
y, руб. 416 501 403 208 462 386 399 342 354 558 302 360 310 415 452 450 6318
x, руб. 1288 1435 1210 1190 1640 1420 1250 870 740 910 1020 1050 1205 990 1042 1037 18297
y2 173056 251001 162409 43264 213444 148996 159201 116964 125316 311364 91204 129600 96100 172225 204304 202500 2600948
x2 1658944 2059225 1464100 1416100 2689600 2016400 1562500 756900 547600 828100 1040400 1102500 1452025 980100 1085764 1075369 21735627
535808 718935 487630 247520 757680 548120 498750 297540 261960 507780 308040 378000 373550 410850 470984 466650 7269797
21,12 106,12 8,125 -186,9 67,12 -8,9 4,12 -52,9 -40,9 163,1 -92,9 -34,9 -84,9 20,1 57,1 55,1 0,00
144,4 291,4 66,4 46,4 496,4 276,4 106,4 -273,6 -403,6 -233,6 -123,6 -93,6 61,4 -153,6 -101,6 -106,6 0,00
446,27 11262,5 66,02 34922,3 450,58 78,8 17,02 2795,8 1670,8 26609,8 8625,8 1216,3 7203,8 405,02 3263,3 3038,8 106128
20862,2 84935,8 4413,9 2156,4 246450,2 76417,7 11328,9 74836,4 162862,7 54551,4 15267,7 8753,9 3774,6 23581,4 10314,9 11355,6 811863,9
402,8 410,9 398,5 397,4 422,3 410,1 400,7 379,8 37,26 382,0 388,1 389,7 398,3 386,4 389,3 389,0 6318
13,2 90,1 4,5 189,4 39,7 24,1 1,7 37,8 18,6 176 86,1 29,7 88,3 26,8 62,7 61
174,2 8118,0 20,25 35872,4 1576,1 580,81 2,89 1428,8 346,0 30976 7413,21 882,1 7796,9 818,0 3931,3 3721 103658
3,17 18,0 1,1 91,1 8,6 6,2 0,4 11,1 5,25 31,5 28,5 8,3 28,5 6,5 13,9 13,6 275,72
Средние величины:
Параметры уравнения парной линейной регрессии составят:
и оно примет вид:
2.Коэффициент корреляции:
Т. к. коэффициент корреляции , то связь между среднедушевыми расходами y и u доходами Х практически отсутствует.
Коэффициент детерминации: т. е лишь 2,3% изменения расходов связаны с вариацией доходов.
F- критерий Фишера:
По таблице распределения F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы составляет: Fтабл (0,05;1;14)=4,6,
Поскольку , то уравнение регрессии незначимо.
Средняя ошибка аппроксимации тоже велика и лишь немного меньше коэффициента вариации:
Т.о. полученное уравнение регрессии случайно и для прогнозных целей использоваться не может. Для определения параметров уравнения регрессии , выполним аналогичные расчеты заменив величину на .
Значения берем из первой таблицы.
Район A B C D E F G H I J K L M N O P
416 501 403 208 462 386 399 342 354 558 302 360 310 415 452 450 6318
1288 1435 1210 1190 1640 1420 1250 870 740 910 1020 1050 1205 990 1042 1037 18297
35,9 37,9 34,8 34,5 40,5 37,7 35,36 29,5 27,2 30,2 31,9 32,4 34,7 31,5 32,3 32,2 538,56
14934,4 18987,9 14024,4 7176 18711 14552,2 14108,64 10083 9628,8 16851,6 9633,8 11664 10757 13072,5 14599,6 14490 213274,84
2,24 4,24 1,14 0,84 6,84 4,04 1,7 4,16 6,46 3,46 1,76 1,26 1,04 2,16 1,36 1,46
5,02 18,0 1,3 0,71 46,8 16,3 2,89 17,3 41,7 12,0 3,1 1,59 1,08 4,66 1,85 2,13 176,43
402,9 410,1 398,9 397,9 419,6 409,4 401,0 379,8 371,5 382,3 388,7 390,3 398,7 386,4 389,9 389,6
13,1 90,9 4,1 189,9 42,4 23,4 2,0 37,8 17,5 175,7 86,7 30,3 88,7 28,6 62,1 60,4
171,6 8262,8 16,8 36062 1797,8 547,6 4,0 1428,8 306,3 30870,5 7516,9 918,1 7867,7 818,0 3856,4 3648,2 104093,5
А 3,15 18,1 1,02 91,3 9,18 6,06 0,5 11,05 4,94 31,5 28,7 8,42 28,6 6,89 13,7 13,4 276,5
Средние значения:
Параметры уравнения регрессии:
и оно примет вид:
По этому уравнению регрессии, как и в первой таблице рассчитываем теоретические значения , определяем абсолютные и среднеквадратические отклонения и относительные ошибки аппроксимации.
Индекс корреляции, т.к. данное уравнение является нелинейным определится по формуле:
Индекс детерминации:
Показатели корреляции и детерминации этого уравнения еще ниже чем линейного уравнения регрессии. Здесь лишь 1,92% расходов объясняются вариацией доходов.
И по F-критерий Фишера это уравнение тоже незначимо.
Т.к линейная модель имеет больший F , то она лучше нелинейной. Оценим значимость параметров уравнения , выдвинув гипотезу об их незначимости, т.е.
Определим ошибки параметров «а» и «b» и коэффициента .
Т.о гипотеза принимается, а параметр «а» значимо отличается от нуля. Полученные оценки модели не позволяют использовать ее для прогноза, поскольку коэффициенты «b», и уравнение в целом незначимы. По этому основанию выполнение п.6 задания не имеет смысла
Задание № 16.
Имеются данные 12 месяцев по району города о рынке вторичного жилья y-стоимость квартиры, (тыс. у. е.); х1-размер жилой площади, (м2); х2-размер кухни, (м2).
y, тыс.у.е 13,0 16,4 17,0 15,2 14,2 10,5 20,2 12,0 15,6 12,5 13,2 14,6
х1, м2 37,0 60,9 60,0 52,1 40,1 30,4 43,0 32,1 35,1 32,0 33,0 32,5
х2, м2 6,2 10,0 8,5 7,4 7,0 6,2 7,5 6,4 7,0 6,2 6,0 5,8
Задание:
1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера .
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
Решение:
Уравнение множественной регрессии будем искать в виде:
Параметры а; b1, b2. найдем, выполнив промежуточные расчеты.
№
1 13,0 37,0 6,2 481,0 80,6 229,4 169,0 1369 38,44 13,77 5,92
2 16,4 60,9 10,0 998,76 164,0 609,0 268,96 3708,81 100,0 17,91 9,21
3 17,0 60,0 8,5 1020,0 144,5 510,0 289,0 3600,0 72,25 17,12 0,7
4 15,2 52,1 7,4 791,92 112,48 385,54 231,04 2714,41 54,76 15,83 4,14
5 14,2 40,1 7,0 569,42 99,4 280,7 201,64 1608,01 49,0 14,45 1,76
6 10,5 30,4 6,2 319,2 65,1 188,48 110,25 924,16 38,44 13,12 24,95
7 20,0 43,0 7,5 860,0 150 322,5 400,0 1849,0 56,25 14,97 25,15
8 12,0 32,1 6,4 385,2 76,8 205,44 144,0 1030,41 40,96 13,38 11,5
9 15,6 35,1 7,0 547,56 109,2 245,7 243,36 1232,01 49,0 13,96 10,51
10 12,5 32,0 6,2 400,0 77,5 198,4 156,25 1024,0 38,44 13,28 6,24
11 13,2 33,0 6,0 435,6 79,2 198,0 174,24 1089,0 36,0 13,28 0,6
12 14,6 32,5 5,8 474,5 84,68 188,5 213,16 1056,25 33,64 13,14 10,00
174,2 488,2 84,2 7283,16 1243,46 3561,66 2600,9 21205,06 607,18 174,2 110,68
Сред
ние 14,517 40,683 7,017 606,93 103,6217 296,805 216,7417 1767,0883 50,5983 9,22%
Дисперсии и среднеквадратические отклонения величин:
Парные коэффициенты корреляции:
Стандартизированное уравнение регрессии имеет вид:
Т.о. стандартизированное уравнение:
Параметры уравнения регрессии в естественной форме запишутся:
Тогда естественная форма уравнения регрессии имеет вид:
По этому уравнению регрессии определены теоретические значения стоимости квартиры по заданным в таблице условия площади квартиры и площади кухни
Полученные значения и относительные (в %) отклонения этих значений от фактической стоимости у, вписаны в правые столбцы таблицы.
2. Средние коэффициенты эластичности:
т. к. <1; <1, то стоимость жилья неэластична относительно площади квартиры и кухни, т.к изменение площади на 1% относительно средних значений вызовет изменение стоимости жилья в среднем лишь на 0,277% и на 0,225%
Судя по - коэффициентам и коэффициентам эластичности изменение площади кухни значительно слабее влияет на изменение
стоимости жилья, чем изменение площади квартиры.
3. Для оценки значимости коэффициентов регрессии по t –критерию Стьюдента и F-критерия Фишера вычислим коэффициенты множественной корреляции и детерминации.
Коэффициент множественной детерминации
Наблюдаемое значение F-критерия Фишера при степеней свободы числителя и (К=2 т.к. в уравнении две независимых переменных) и К=2 степеней свободы знаменателя составит:
Частные F-статистики:
При уровне значимости по условию табличные значения F и t - критериев
составляют:
Так как наблюдаемые значение t – критериев ниже табличного, то каждый коэффициент незначим, незначимо в целом и уравнение регрессии на этом уровне значимости.
Если снизить уровень значимости до , то что тоже больше т. е и на уровне уравнение регрессии незначимо. Судя по включенное в модель фактора x1 после фактора x2 нецелесообразно, так же как и включение фактора x2 после фактора x1 (их частные F – статистики ниже табличного).
Учитывая что Э1> Э2 и целесообразно оставить в уравнении фактор x1 исключив фактор x2.
Тогда
И уравнение регрессии приобретает вид:
4. Средняя ошибка аппроксимации определена в расчетной таблице – последняя колонка, как средняя относительная ошибка при сравнении фактической стоимости жилья и стоимости, определенной по уравнению множественной регрессии. Ее величина составила т.е по этой величине качество модели можно признать удовлетворенным
5. Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:
Т.к. , то переменные х1 и х2 коллинеарны т.е. взаимозависимы и совместное их включение в уравнение регрессии нецелесообразно.
Частные коэффициенты корреляции составят:
Их матрица . Расчет частных коэффициентов корреляции указывают, что при закреплении одного из факторов на постоянном уровне влияние второго фактора на результативный показатель, (стоимость жилья) оказывается слабее, чем при вариации обоих факторов (коэффициенты 0,196 против 0,630 и 0,07 против 0,613). Снижение влияния говорит о корреляционной связи между факторами х1 и х2.
Задание № 26.
1.Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицированное ли каждое уравнение модели.
2.Определить тип модели.
3.Определите метод оценки параметров модели.
4.Опишите последовательность действий при использовании этого метода.
5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.
Модель имеет вид:
Решение: 1.Модель имеет три эндогенные (зависимые) переменные (Y1; Y2; Y3) и две экзогенные (независимые) переменные (X1; X2).Проверим необходимые условия идентификации.
1-ое уравнение:
Д=2(Х1;Х2); Н=2 (Y1;Y2). Д+1=2+1=3>Н=2, т.к Д+1>Н, то уравнение сверхидентифицируемо.
2-ое уравнение:
Д=1(отсутствует Х2 ); Н=2 (присутствует Y1; Y2 ;). Д+1=1+1=2=Н=2 т. к. Д+1=Н, то уравнение идентифицируемо.
3-е уравнение: Д=1(отсутствует Х1); Н=2 (присутствует Y1; Y3). Д+1=1+1=2=Н=2 , т. к. Д+1=Н, то уравнение идентифицируемо.
Проверим достаточные условия идентификации.
В 1-ом уравнении нет переменных X1 ;X2 ;Y3. Строим матрицу:
X1 Х2 Х3
2-ое уравнение С21 0 0
3-е уравнение 0 1 -1
, следовательно уравнение идентифицируемо.
Во 2-ом уравнении нет переменных X2; Y3 . Строим матрицу:
, следовательно уравнение неидентифицируемо.
X2 Y3
1-ое уравнение 0 0
3-е уравнение 1 -1
Третье уравнение являясь тождеством, вообще говоря, не нуждается в идентификации (в нем нет структурных коэффициентов).
Т. о. поскольку в модели имеются неидентифицируемые уравнения, то и модель в целом неидентифицируема. Косвенный метод минимальных квадратов применим лишь для идентифицируемых моделей, а двухшаговый метод – для сверхидентифицируемых и неидентифицируемых моделей
Использование двухшагового МНК заключается в следующем:
- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.
- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.
- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.
Задание №36. Имеются данные за 12 лет по стране А о годовом объеме продаж автомобилей.
Год 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Объем продаж
100тысяч 3,8 4,7 3,9 2,7 2,9 2,3 3,0 3,6 2,9 3,7 4,5 4,2
Требуется:
1.Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядков.
2. Обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры, сделать выводы.
Решение. Коэффициенты автокорреляции уровней ряда 1-ого и 2-ого порядков определим по формулам:
где yt - текущее значение объема продаж за t-ый год;
yt-1 - объемы продаж за предыдущий год;
yt-2 - объемы продаж за год, предшествующий предыдущему.
Необходимые расчеты выполним в таблице:
Год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑
yt 3,8 4,7 3,9 2,7 2,9 2,3 3,0 3,6 2,9 3,7 4,5 4,2 42,2
yt-1 - 3,8 4,7 3,9 2,7 2,9 2,3 3,0 3,6 2,9 3,7 4,5 38,0
yt-2 - - 3,8 4,7 3,9 2,7 2,9 2,3 3,0 3,6 2,9 3,7 33,5
yt-y1 - 1,209 0,409 -0,791 -0,591 -1,191 -0,491 0,109 -0,591 0,209 1,009 0,709
yt-1-y2 - 0,345 1,245 0,445 -0,755 -0,555 -1,155 -0,455 0,145 -0,555 0,245 1,045
yt-y3 - - 0,53 -0,67 -0,47 -1,07 -0,37 0,23 -0,47 0,33 1,13 0,83
yt-2-y4 - - 0,45 1,35 0,55 -0,65 -0,45 -1,05 -0,35 0,25 -0,45 0,35
(yt-y1)2 - 1,462 0,167 0,626 0,349 1,418 0,241 0,012 0,349 0,044 1,018 0,503 6,189
(yt-1-y2)2 - 0,119 1,550 0,198 0,570 0,308 1,334 0,207 0,021 0,308 0,060 1,092 5,767
(yt-y3)2 - - 0,281 0,449 0,221 1,145 0,137 0,053 0,221 0,109 1,277 0,689 4,582
(yt-2-y4)2 - - 0,202 1,823 0,302 0,423 0,202 1,103 0,122 0,063 0,202 0,123 4,565
(yt-y1)x
x(yt-1- y2) - 0,417 0,509 -0,352 0,446 0,661 0,567 -0,050 -0,086 -0,116 0,247 0,741 2,984
(yt-y3)x
x(yt-2- y4) - - 0,239 -0,905 -0,258 0,696 0,166 -0,242 0,165 0,083 -0,509 0,291 -0,274
Тогда коэффициенты автокорреляции составят:
Т. к. значения коэффициентов автокорреляции существенно меньше 1 (особенно r2), то временной ряд не содержит линейной тенденции.
Для выявления типа нелинейной тенденции построим график зависимости уровней ряда от времени.
Полученная ломанная линия дает основание построить тренд в виде квадратичной функции. Для упрощения вычислений примем, что минимум этой функции приходится на 6-ой год временного ряда. Тогда сделав параллельный перенос оси ординат искомую функцию можно записать в виде:
где
Система линейных уравнений для этого уравнения регрессии определяющая коэффициенты а и b имеет вид:
Определение величин, входящих в эти уравнения сведем в таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 6
3,8 4,7 3,9 2,7 2,9 2,3 3,0 3,6 2,9 3,7 4,5 4,2 42,2
25 16 9 2 1 0 1 2 9 16 25 36 142625
625 256 81 4 1 0 1 4 81 256 625 1296 3230
95 75,2 35,1 5,4 2,9 0 3 7,2 26,1 59,2 112,5 151,2 572,8
4,141 3,714 3,383 3,146 3,003 2,956 3,003 3,146 3383 3,714 4,141 4,662
0,0803 1,403 0,147 0,667 0,380 1,4080 0,267 0,007 0,380 0,034 0,967 0,467 6,279
0,116 0,972 0,267 0,199 0,011 0,430 0 0,206 0,233 0 0,129 0,213 2,776
Система уравнений запишется в виде:
Ее решение: а=0,0474; b=2,956
Тогда уравнение нелинейной регрессии
Определяя значение по этому уравнению (3-я снизу строка таблицы) при значениях , сравниваем общую дисперсию , где и остаточную дисперсию .
Полученное значение R=0,747 есть индекс корреляции между фактором времени и объемом продаж в уравнении выбранного тренда, что характеризует связь между ними как весьма существенную.
Расчетное значение критерия Фишера:
что больше табличного значения при 5% -ом уровне значимости и степенях свободы ; ; Fтабл(0, 05; 1; 10)=4,96
Следовательно, полученное уравнение тренда статически значимо. Однако, учитывая, что индекс корреляции существенно меньше 1 прогноз продаж по этому уравнению будет иметь относительно большую стандартную ошибку, в зависимости от выбранной надежности и широкий доверительный интервал. Теоретическая парабола продаж построена по точкам в одних осях с эмпирической ломаной временного ряда.
Библиографический список
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.
Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.
Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.
Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.
Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.
|
