Физика ДГУПС, вар 6.

 

Контрольная №1, механика.

 

№106. Тело брошено под углом α = 30° к горизонту со скоростью υ0 = 30 м/с. Каковы будут нормальное аn и тангенциальное аτ ускорения тела через время t = 1 с после начала движения?

α

 

 

 

 

 

 

А

Решение: Разложим вектор скорости тела   на вертикальную и горизонтальную составляющие. Под действием вертикальной составляющей   тело движется вверх равнозамедленно, а под действием горизонтальной составляющей – равномерно по горизонтали:

 

Полная скорость тела меняется в соответствии с уравнением:

 

Ускорения точки найдём по её проекциям: 

 

Т.к. на тело в полёте действует только сила тяжести, направленная вниз, то и результирующее ускорение направлено вниз. Это ускорение свободного падения а = g. Оно разлагается на тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории в точке А и определяемое первой производной скорости по времени и нормальное ускорение, направленное   тангенциальному.

Дифференцируя равенство  , получим:

 

Отсюда касательное ускорение:

 

Положив α = 30°, υ0 = 30м/с; t = 1c; g = 9,8м/с2, вычислим тангенциальное ускорение:

 

Тогда нормальное ускорение: 

аn = 

Ответ:  

 

№116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его m1 = 60 кг, масса доски m2 = 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) V = 1 м/с? Массой колес и трением пренебречь.

Решение: Т.к. действующие на систему тел "человек-тележка" внешние силы (сила тяжести, сила реакции) направлены   движению, а трением пренебрегаем, то проекцию импульса системы на горизонтальное направление можно считать постоянной, т.е.:

  где

u – скорость человека относительно пола; V – скорость доски относительно пола;

Очевидно, скорость человека относительно пола составит:

  где

V1 – скорость человека относительно доски;

 

Поскольку до начала движения скорости человека и тележки нулевые, то и начальный импульс также равен нулю, т.е.  

Тогда: 

 

Знак "минус" означает, что тележка начнёт двигаться в сторону, противоположную движению человека.

 

№126. Шар массой m1 = 4 кг движется со скоростью V1 = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m2 = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V2 = 2 м/с. Определить скорости u1 и u2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

Решение: При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Для обоих шаров эти законы можно записать в виде:

 

Т.к. массы и скорости шаров до столкновения известны, то сокращая 0,5 во втором уравнении и подставляя числа, получим систему:

     Из первого уравнения имеем:  Тогда:

 

 

 

Т.о. скорость второго шара в результате столкновения выросла с V2 = 2м/с до u2 = 4,4 м/с.

Скорость первого шара после столкновения составит соответственно:

 

Ответ:  

 

№136. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на Δl = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8 см?

 х0

Fупр= – kx

F = mg

Решение: Лежащий на пружине груз, давит на конец пружины с силой F = mg, численно равной силе упругости пружины, которая определяется законом Гука.

 .

где k – жёсткость пружины; х0 – величина деформации (сжатия).

При деформации пружины, работа деформации определяется выражением:

 

При падении того же груза с высоты h он приобретает кинетическую энергию Т, превращающуюся в потенциальную энергию сжатия пружины при падении груза на неё:

 

Очевидно во втором случае работа деформации окажется больше на величину потенциальной энергии груза, предварительно поднятого на высоту h^

 

Заменяя здесь жёсткость пружины выражением  , получим:

 

Ответ: Пружина сожмётся на 22мм.

 

№146. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью V = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

Решение: Под коэффициентом сопротивления будем понимать отношение силы сопротивления и веса диска.

Катящийся диск обладает кинетической энергией ТП поступательного и вращательного ТВР движения, которые определяются выражениями:

 

 момент инерции диска, r – радиус диска, m – масса диска.

Т.к. диск в итоге остановился, то сила сопротивления F совершила работу А = F·s, равную энергии диска. Из равенства  имеем:

 

Ответ: k = 0,27.

 

№156. Однородный стержень длиной l = 1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m = 7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол α = 60°. Принять скорость пули V = 360 м/с.

Дано: l = 1м; m2 = 7г = 0,007кг; α = 600; V = 360м/с.  

Решение: Поскольку стержень отклонился от вертикали на 600, то он (массой пули по сравнению с массой стержня пренебрегаем) приобрёл кинетическую энергию:

D

В

h

C

А

α

m2

 

 

 

 

Скорость стержня U после удара пули определим из закона сохранения импульса, т.к. пуля летела горизонтально, и в этом направлении систему тел стержень-пуля можно считать изолированной. Из этого закона следует:

 

Поскольку стержень однородный, то его центр тяжести был расположен в середине стержня, т.е. в точке С. 

После отклонения на угол 600 центр тяжести переместится за счёт этой кинетической энергии, в точку D, поднявшись на высоту h = 0,25·l, т.к. треугольник  равнобедренный и высота из точки D делит противоположную сторону пополам.

При этом кинетическая энергия превратилась в потенциальную энергию шара:

 

Из равенства кинетической и потенциальной энергии стержня с пулей, получим:

 

Ответ: М = 1,14кг.

 

№166. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

Решение: Напряжённость гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М которой можно считать распределённой сферически-симметрично, определяется выражением:

  где G = 6,672·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.

Для гравитационного поля Земли и Луны можно записать:

60R

R

r

60R– r

Земля

Луна

 

Учитывая, что

 

g = 9,8м/с2 – ускорение свободного падения на поверхности Земли, запишем:

 

 

Из равенства   имеем:

 

 

Ответ: Точка отстоит от центра Земли на 54 земных радиуса. 

 

№176. Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Δr = 18 см и максимальная скорость Vmax = 16 см/с.

Решение: Уравнение движения маятника имеет вид:

 ,

т.е. максимальное перемещение  

Скорость маятника равна

  

Максимальная скорость равна  . Следовательно:

 

Ответ: Т = 3,53 с.

 

№206. Определить концентрацию n молекул кислорода, находящегося в сосуде вместимостью V = 2л. Количество вещества ν кислорода равно 0,2 моль.

Решение: Концентрация молекул газа определяется формулой:

 ,    где N – число молекул; V = 0,002м3 – объём, занимаемый газом.

Т.к. в одном моле вещества содержится NA = 6,02∙1023 молекул, то концентрация молекул кислорода в 0,2 моля веществе составит:

 

Ответ:  

 

№216. Вычислить плотность ρ азота, находящегося в баллоне под давлением р = 2 МПа и имеющего температуру T = 400К.

Решение: В общем случае плотность ρ определяется отношением массы вещества m к занимаемому объёму V.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона  , имеем: 

 

Здесь μ = 28·10–3 кг/моль – молярная масса азота; 

          R = 8,31 Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная;

Ответ:  

 

№226. Определить среднюю квадратичную скорость   молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V = 2л под давлением р = 200кПа. Масса газа m = 0,3 г.

Решение: Средняя квадратичная скорость молекулы газа может быть определена формулой:

 

Из уравнения Менделеева-Клапейрона  , имеем:  .

Тогда:  

 

Ответ:  

 

№236. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости          

Решение: Отношение удельных теплоёмкостей газа составляет:

 

Такое отношение удельных теплоёмкостей указывает, что газ двухатомный и его молекула имеет пять степеней свободы (i = 5).

Тогда молярные теплоёмкости этого газа определятся:

 

Ответ:  

 

№246. Кислород находится под давлением р = 133 нПа при температуре T = 200 К. Вычислить среднее число   столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время t = 1с.

Решение: Среднее число соударений молекул в единицу времени определяется выражением:

 ,   где σ = 2,7·10–10м – эффективный диаметр молекулы кислорода.

 – средняя квадратичная скорость молекул газа; 

μ = 32·10–3 кг/моль – молярная масса кислорода.

 концентрация молекул газа (k = 1,38·10–23 Дж/К – постоянная Больцмана).

Тогда, среднее число соударений молекул в секунду составит:

 

 

Ответ:  

 

№256. Азот массой m = 0,1 кг был изобарно нагрет от температуры T1 = 200 К до температуры T2 = 400 К. Определить работу A, совершенную газом, полученную им теплоту Q и изменение ΔU внутренней энергии азота.

Решение: Для изобарного процесса давление сохраняется неизменным, поэтому при неизменной массе газа отношение V/T = const, при этом работа, совершаемая газом в изобарном процессе, определяется выражением:

 

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для каждой температуры можно записать:

 

Вычтя из второго уравнения первое, получим:

 

Тогда работа, совершённая газом:

 

Внутренняя энергия газа:

 

Здесь i = 5 – число степеней свободы двухатомной молекулы азота.

Полученная газом теплота:

 

Ответ:  

 

№266. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру T2 теплоприемника, если температура теплоотдатчика T1 = 430 К.

Решение: Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученная от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Очевидно, если 67% теплоты отдано теплоотдатчику, то 100% – 67% = 33% теплоты пошло на совершение механической работы. Термический цикла Карно определяется выражением:

  

Тогда:

 

Таким образом, температура теплоприёмника Т2 = 288 К.

Ответ:  

 

 

№276. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала d = 1 мм на высоту  h = 20 мм. Определить поверхностное натяжение α глицерина. Считать смачивание полным.

Решение: Высота подъёма жидкости в капиллярной трубке определяется выражением:

 ,  где

α – коэффициент поверхностного натяжения глицерина

θ – краевой угол (при полном смачивании θ = 0);

ρ – плотность жидкости (для глицерина ρ = 1,26·103кг/м3);

g = 9,81м/с2 – ускорение свободного падения.

R – радиус канала трубки  (R = 0,5d).

Из этой формулы имеем:

 

Ответ: