Вариант №  9.

№9. Найти годичную брутто-ставку при страховании жизни от возраста 10 лет на срок 5 лет при  страховом пособии 1200 руб., страховой сумме 2000  руб., доле нагрузки 20%, норме доходности 10 %.

Решение: Годичную брутто-ставку страхования детей от возраста х = 10 лет на срок n = 5 лет, т.е. до возраста х + n = 15 лет, при страховой сумме S1 = 2000 руб., страховом пособии          S2 = 1200 руб., доле нагрузки f = 0,2 (20%) и норме доходности i = 0,1(10%) можно найти по формуле:

где величины S1 и S2 – страховая сумма и страховое пособие соответственно;

D, M, N, R – коммутационные числа при заданной норме доходности;

В методических указаниях имеется таблица коммутационных чисел, рассчитанная при норме доходности 3 % (i = 0,03) на основе таблицы смертности, составленной по переписи населения 1959 года. При отсутствии других источников информации на основе той же таблицы смертности в ППП Excel составлены таблицы коммутационных чисел при ставках доходности  6 % и 10 %.

Подставляя в эту формулу коммутационные числа при i = 0,06, получим:

Т.о. годичная брутто-ставка составит лишь 373,24 руб. при норме доходности 10 % и доле нагрузки 20 %.

№19. Найти единовременный пенсионный взнос, внесённый в 45 лет и гарантирующий ежегодную пенсию от возраста 55 лет на срок 10 лет в  размере 1000 руб. при норме доходности 10 % и доле нагрузки 20 %.

Решение: Если единовременный взнос возвращается в случае смерти застрахованного до наступления сроков выплаты по договору страхования, а в случае дожития – пенсия выплачивается в начале каждого года, то единовременный взнос в этом случае можно определить формулой:

где  – отложенная годичная пенсия с единовременным взносом от возраста х = 45 лет на срок n = 55 – 45 = 10 лет, выплачиваемая в течение m = 10 лет при доле нагрузки f = 0,2;

D,M, N – коммутационные числа при заданной норме доходности i = 0,1;

№29. Страховая компания заключает договоры страхования финансовых рисков. Найти минимальный страховой тариф с 30000 руб. страховой суммы, если:

- гарантия безопасности равна 0,95;

- вероятность наступления страхового случая - 0,15;

- количество договоров - 100;

- доля нагрузки в брутто-ставке - 30 %.

Решение: При отсутствии сведений о среднем возмещении при наступлении страхового случая и средней страховой сумме по одному договору , по рекомендации Росстрахнадзора следует принимать отношение /  при страховании финансовых рисков /  = 0,7. Тогда, при вероятности наступления страхового случая q = 0,15, основа нетто ставки определится формулой:

 со 100 руб. страховой суммы.

Т.к. информации о разбросе сумм возмещений тоже нет, то для определения минимальной рисковой надбавки следует воспользоваться формулой:

где tγ = 1,645 – коэффициент, соответствующий гарантии безопасности γ = 0,95.

Тогда нетто-ставка определится суммой её основы и рисковой надбавки:

Брутто-ставка с учётом доли нагрузки на 100 руб страховой суммы:

Страховой тариф со всей страховой суммы:

№39. По заданной в таблице статистике страховых сумм (S) и страховых возмещений (Sb) за ряд лет найти с помощью линейного тренда убыточности страховой тариф со страховой суммы  S0 = 9765 руб на следующий за статистикой год при заданной гарантии безопасности γ = 0,95 и доле нагрузки f = 0,25.

Годы

1

2

3

4

5

6

S

6375

6900

7375

7900

8100

8450

Sb

1500

1595

1630

1690

1720

1745

Решение: Используем уравнение линейного тренда в виде: , где  – выровненные показатели убыточности страховой суммы; n – порядковый номер года в статистике;  а и b – параметры уравнения тренда.

Значения параметров a и b найдём из решения системы уравнений:

 Вычислим величины, входящие в эти уравнения:

Уравнения приобретают вид:

Получили уравнение линейного тренда  .

Подставляя сюда n = 7, получим прогноз убыточности на следующий год:

у7 = 0,24075 – 0,00592∙7 = 0,19931.

Т.о. основа нетто-ставки на седьмой год Т0 = 0,19931.

Для определения рисковой надбавки рассчитаем среднеквадратические отклонения фактических значений убыточности от выровненных значений по формуле:

Расчёт сведён в таблицу. Тогда:

При гарантии безопасности γ = 0,95 и числа лет n = 6 из таблицы μ(γ;n) имеем:

μ(0,95;6) = 2,219.

С учётом этого рисковая надбавка:

 Тогда совокупная нетто-ставка:  

Брутто-ставка со 100 руб. страховой суммы и доле нагрузки 25 % составит:

Страховой тариф: Т = S∙ТБ/100 = 9765∙27,2/100 = 2655,6 руб.

№49. Оценить предпринимательские риски на основании таблиц экономической рентабельности (ЭР) за ряд лет:

1) в предположении, что ЭР имеет нормальный закон  распределения оценить:

а) критический или катастрофический риск;

б) допустимый риск в предположении, что планируемая ЭР равна γ1 = 0,36;

в) катастрофический риск в предположении, что предпринимательская деятельность в следующем после статистике году будет вестись на основе годичного банковского кредита под залог имущества с банковской процентной ставкой γ2 = 0,3;

2)  без предположения о нормальном законе распределения  ЭР оценить критический или катастрофический риск, сравнить полученную оценку с результатом пункта 1а.

Годы

1

2

3

4

5

6

7

8

ЭР

0,36

0,37

0,38

0,4

0,39

0,39

0,38

0,37

Решение: 1. Находим среднее за ряд лет значение рентабельности:

Среднеквадратическое отклонение:

а) Критический или катастрофический риск соответствует ситуации, когда рентабельность отрицательна, т.е. выручка меньше затрат или вообще отсутствует (критический риск) или при отсутствии выручки необходимы дополнительные затраты например, утилизация производства (катастрофический риск).

Используя функцию Лапласа, получим для критического или катастрофического риска:

Т.о. вероятность наступления критического или катастрофического риска отсутствует.

б) Допустимый риск соответствует ситуации, когда . Используя функцию Лапласа для допустимого риска, получим:

Это означает, что вероятность снижения фактической рентабельности ниже γ1 = 0,36 составляет лишь 5,13 %. т.е. при планируемой рентабельности γ1 = 0,36 риск составит 5,13 %.

в) В случае, если предпринимательская деятельность в следующем после статистике году будет вестись на основе годичного банковского кредита под залог имущества с банковской процентной ставкой γ2 = 0,3, катастрофический риск определится неравенством ЭР < γ2.

Вероятность такой ситуации тоже можно оценить функцией Лапласа:

Т.о. практически вероятность этой ситуации равна нулю, т.е. 30 % рентабельности, обеспечивающей расчёт с банком по процентам за кредит, будет обеспечена наверняка.

 2. При отсутствии информации о законе распределения экономической рентабельности критический или катастрофический риск можно оценить на основе неравенства Чебышева:

Т.е. в среднем только в 1 случае из 1000 возможна отрицательная рентабельность, означающая критический или катастрофический риск, что больше, чем при предположении о нормальном распределении уровня экономической рентабельности.

№59. На основании статистики предпринимательской деятельности требуется:

1. Принять инвестиционное решение о присоединении к производству товара X производство либо товара  Y, либо товара Ζ с целью понижения риска производства товара X.

2. Оценить катастрофический или критический риск производства товара   и производства выбранной пары товаров, в предположении, что ЭР каждого из этих производств имеет нормальный закон распределения.

Годы

1

2

3

4

5

Х

доходы

840

895

930

975

1010

Х

расходы

672

688

750

775

754

Y

доходы

541

588

631

675

710

Y

расходы

440

452

489

515

546

Ζ

доходы

495

535

595

630

695

Ζ

расходы

390

431

458

496

574

Решение: Определяем уровни экономической рентабельности производства каждого товара за каждый год по формуле:

Рассчитанные по этой формуле уровни рентабельности и их средние значения сведены в таблицу:

Для выбора пары товаров определим парные корреляционные моменты рентабельности товаров по формуле, например для пары товаров Х и Y:

Рассчитанные в Excel для каждой пары товаров X, Y и X, Z моменты тоже сведены в таблицу:

Т.к.  < 0, а > 0, то принимается решение о совмещении производства товара Z с производством  товара Х при

2. Определяем экономическую рентабельность совместного производства товаров Х и Y по годам, среднюю  и среднеквадратическое отклонение по формулам:

Расчёт выполнен в двух нижних строках таблицы.

При таких значениях средней экономической рентабельности и среднем квадратическом отклонении величин  вероятности критического или катастрофического риска составят:

Из расчётов следует, что при совмещении производства товара Х с производством товара Z вероятность критического ли катастрофического риска значительно меньше, чем при производстве только товара Х (0,00042 < 0,0178 %).